Un exercice de probabilités vous donne deux événements A et B, et vous devez calculer quelque chose. Toute la difficulté tient souvent en une question : faut-il chercher P(A ∩ B), P(A ∪ B), ou P(A sachant B) ? Les mots de l’énoncé contiennent la réponse, à condition de savoir les lire. Repérer qu’on vous demande P(A ∩ B) repose sur des indices précis dans la formulation, et ce sont ces indices que nous allons décortiquer.
Les mots-clés qui signalent une intersection en probabilités
Avant toute formule, la première compétence à développer est la lecture active de l’énoncé. Certains mots ou tournures renvoient presque toujours à P(A ∩ B).
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Vous lisez « et » entre deux événements ? C’est le signal le plus direct. « L’élève pratique le sport et joue d’un instrument » signifie que les deux conditions doivent être remplies en même temps. On cherche alors la probabilité que A et B se réalisent simultanément.
D’autres formulations moins évidentes cachent la même idée :
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- « À la fois A et B » : cette expression indique clairement que les deux événements se produisent ensemble. Exemple : « une pièce est à la fois défectueuse et de couleur rouge ».
- « Simultanément » ou « en même temps » : si l’énoncé précise que deux résultats arrivent simultanément, vous êtes dans le cas d’une intersection.
- « Parmi les… qui sont aussi… » : cette structure de phrase croise deux critères. « Parmi les élèves qui font du sport, combien pratiquent aussi la musique ? » peut mener à P(A ∩ B), selon ce qu’on vous demande de calculer.
- « Cumuler », « réunir les deux conditions », « vérifier les deux critères » : toute idée de cumul entre deux propriétés pointe vers l’intersection.
Le mot « et » dans un énoncé de probabilités traduit presque toujours le symbole ∩. C’est la règle de base à retenir avant tout calcul.
Intersection ou probabilité conditionnelle : la confusion à éviter
C’est le piège le plus fréquent. Les expressions « sachant que » et « et » ne demandent pas le même calcul. Confondre P(A ∩ B) avec P(A | B) fausse tout le raisonnement.
Quand l’énoncé dit « sachant que »
La formulation « sachant que B est réalisé, quelle est la probabilité de A ? » vous oriente vers une probabilité conditionnelle : P(A | B). Ici, l’univers se réduit aux cas où B s’est déjà produit. On ne cherche pas la probabilité que les deux arrivent ensemble, mais la probabilité de A dans un contexte restreint.
Prenons un exemple concret. « On tire une carte dans un jeu. Sachant que la carte est rouge, quelle est la probabilité qu’elle soit un cœur ? » Ici, B (« carte rouge ») est déjà acquis. On cherche P(A | B), pas P(A ∩ B).
Quand l’énoncé demande vraiment l’intersection
« Quelle est la probabilité de tirer une carte rouge et que ce soit un cœur ? » Cette fois, rien n’est acquis. On veut la probabilité que les deux conditions soient remplies en partant de zéro, sans information préalable. C’est P(A ∩ B).
Si l’énoncé pose une condition préalable, c’est du conditionnel. Si les deux événements sont sur le même plan, c’est une intersection.
Formules de P(A ∩ B) selon le contexte de l’exercice
Une fois que vous avez identifié qu’il faut calculer P(A ∩ B), reste à choisir la bonne formule. Le contexte de l’exercice détermine laquelle utiliser.
Événements indépendants : la formule simplifiée
Deux événements sont indépendants quand la réalisation de l’un ne change pas la probabilité de l’autre. Lancer deux dés, tirer à pile ou face deux fois de suite : chaque résultat n’affecte pas le suivant.
Dans ce cas, la formule devient : P(A ∩ B) = P(A) × P(B). C’est la version la plus simple. L’énoncé signale souvent l’indépendance par des expressions comme « les tirages sont indépendants », « les événements sont indépendants » ou « avec remise ».
Événements dépendants : la formule générale
Si les événements ne sont pas indépendants, il faut passer par la probabilité conditionnelle pour calculer l’intersection. La formule générale est : P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A).
Exemple typique : on tire deux boules dans une urne sans remise. La composition de l’urne change après le premier tirage, donc le second dépend du premier. L’énoncé le signale par « sans remise » ou « successivement sans remettre ».
Vous pouvez aussi rencontrer la formule dans l’autre sens : P(A ∩ B) = P(B) × P(A | B). Les deux sont équivalentes, choisissez celle qui correspond aux données fournies par l’exercice.
Méthode de lecture rapide d’un énoncé de probabilités
Avec de la pratique, le repérage devient un réflexe. Voici une démarche concrète à appliquer face à chaque exercice.
Commencez par souligner les événements A et B dans l’énoncé. Identifiez précisément ce que chacun représente. Puis cherchez le connecteur entre eux.
- Vous voyez « et », « à la fois », « les deux », « simultanément » → vous cherchez P(A ∩ B).
- Vous voyez « sachant que », « parmi ceux qui », « si on sait que » → vous cherchez une probabilité conditionnelle P(A | B).
- Vous voyez « ou », « au moins l’un des deux », « l’un ou l’autre » → vous cherchez P(A ∪ B), la réunion.
Ensuite, vérifiez si l’énoncé précise l’indépendance. Si oui, appliquez P(A) × P(B). Sinon, utilisez la formule avec la conditionnelle. Un arbre pondéré aide souvent à visualiser la situation : chaque branche complète de l’arbre donne directement un P(A ∩ B) en multipliant les probabilités le long du chemin.
L’épreuve anticipée de mathématiques en Première inclut des QCM qui testent précisément cette capacité à distinguer intersection, réunion et conditionnelle dans un texte rédigé. Ce n’est pas un détail de cours : c’est un objectif d’examen. Prendre l’habitude de souligner les connecteurs dans chaque énoncé, avant même de poser la moindre formule, reste le meilleur réflexe à acquérir pour ne plus hésiter entre P(A ∩ B) et les autres notations.
